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数学

1. 有理数・無理数
・実数とは有理数と無理数を合わせた数
・有理数とは
mを整数、nを0でない整数として、\frac{m}{n}の形に表せる数 ←→ 有限小数または循環小数
・無理数とは
\sqrt{2}、円周率πのような数。\frac{m}{n}の形に表せない数 ←→ 循環しない無限小数

1-2. \sqrt{2}が無理数であることの証明
背理法を使って証明する。矛盾に導くようにする。
\sqrt{2}は有理数であるとすると、
\sqrt{2}=\frac{m}{n} ← ①
(\frac{m}{n}は既約分数とする。分子と分母の最大公約数は1)
と表せる。
①の両辺にnを掛けると、
\sqrt{2}n=m ← ②
②の両辺を二乗すると
2n^2=m^2 ← ③
となる。左辺は偶数なので、右辺も偶数m=2kになる。
③にm=2kを代入すると以下になる。2で両辺を割ると④になる。
2n^2=(2k)^2
n^2=2k^2 ← ④
④よりn^2は偶数で、nも偶数。
m,nはともに偶数で、2という公約数を持つ。
しかし、\frac{m}{n}が既約分数であるという仮定に反する。
証明終わり。